Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Cara termudah dalam menentukan himpunan penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat adalah yaitu dengan memfaktorkan (Baca : Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Memfaktorkan). Namun, ada kalanya suatu persamaan kuadrat tidak dapat kita faktorkan. Untuk itu, kita harus mencari cara lain guna mendapatkan penyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut.

Ada dua cara lagi dalam mencari penyelesaian suatu persamaan kuadrat yaitu, dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna dan dengan menggunakan rumus abc atau disebut juga rumus kuadrat. Pada postingan kali ini kita akan membahas bagaimana menyelesaikan suatu persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna atau dengan kata lain kita akan mencari akar-akar suatu persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna. Namun, sebelumnya kita harus memahami bentuk-bentuk aljabar suku dua yang tergolong bentuk kuadrat sempurna. Sekarang coba perhatikan bentuk aljabar suku dua berikut

(x + p) dan (x - p)

Dua bentuk aljabar tersebut apabila kita kuadratkan kita akan mendapatkan bentuk
(x + p)² = x² + 2px + p²
dan
(x – p)² = x² – 2p + p²

Dari kedua bentuk tersebut terlihat bahwa suku terakhir ruas kanan, yaitu p² adalah setengah dari koefisien x dikuadratkan. 

Dengan mengetahui hal tersebut kita dapat menggunakannya untuk menjadikan suatu persamaan kudrat menjadi bentuk kuadrat sempurna. Misalkan bentuk x² + bx atau x² – bx untuk menjadikan bentuk-bentuk tersebut menjadi kuadrat sempurna kita perlu melengkapkannya dengan menambahkan setengah dari koefisien x dikuadratkan yaitu (½b)². Dengan demikian diperoleh
x² + bx + (½ b)² = (x + ½ b)²
dan
x² – bx + ( ½ b)² = ( x – ½ b)²

Hal ini merupakan kunci dari penyelesaian persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna.

Untuk memahami cara menentukan penyelesaian suatu persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna perhatikan contoh berikut:

Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x² + 6x + 2 = 0

Penyelesaian:
x² + 6x + 2 = 0
Pertama kita pindahkan konstanta pada persamaan kuadrat tersebut ke ruas kanan sehingga
x² + 6x = -2
Sekarang, pehatikan bahwa nilai b = 6 sehingga ( ½ b)² = 3² , dengan demikian kedua ruas kita ambahkan dengan 3² dan menjadi
x² + 6x + 3² = -2 + 3²
x² + 6x + 3² = 7
(x + 3)² = 7
(x + 3) = ±  
x = -3 ±  
Jadi, akar-akar dari persamaan kuadrat x² + 6x + 2 = 0 adalah x = -3 +   atau x = -3 -  

Dalam beberapa kasus, kita perlu menambahkan beberapa langkah lagi agar cara melengkapkan kuadrat sempurna ini bisa kita gunakan. Seperti misalnya, menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang ternyata nilai a atau koefisien x² bernilai tidak sama dengan 1 ( a ¹ 1). Dalam kasus tersbut kita manipulasi agar a atau koefisien x² bernilai 1 yaitu dengan membagi atau mengalikan kedua ruas dengan bilangan yang bernilai tertentu agar koefisien x² menjadi bernilai 1. Untuk lebih memahaminya perhatikan contoh berikut

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 2x² – 4x – 3 = 0 dengan menggunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna!

Penyelesaian
2x² – 4x – 3 = 0
Persamaan di atas memiliki nilai a = 2, untuk menjadikan nilai a menjadi 1 maka kita bagi kedua ruas dengan 2 sehingga didapat
x² – 2x – 3/2 = 0
Sekarang, kita bisa memulai langkah-langkah menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kaudrat sempurna sama seperti langkah-langkah pada contoh sebelumnya.
Pidahkan konstanta ke ruas kanan sehingga
x² – 2x = 3/2
Nilai b = 2 maka ( ½ b)² = 1². Tambahkan kedua ruas dengan 1² diperoleh
x² – 2x + 1² = 3/2 + 1²
(x – 1)² = 3/2 + 1
(x - 1)² = 5/2
x – 1 = ±
x = 1 ±
Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 2x² – 4x – 3 = 0 adalah x = 1 + akar  atau x = 1 - 

Nah, demikianlah cara menyelesaikan suatu persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna semoga bisa dipahami dan semoga bermanfaat :)