Menentukan Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat merupakan salah satu materi yang sangat penting dikuasai dalam mempelajari matematika. Karena, konsep persamaan kuadrat dapat digunakan dalam menyelesaikan permasalahan lain dalam matematika seperti logaritma, trigonometri, bangun ruang dan masih banyak lagi.

Menyelesaikan suatu persamaan kuadrat itu artinya kita mencari himpunan penyelesaiannya yaitu mencari pembuat nol persamaan atau mencari akar-akar persamaannya. Mencari akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat kita lakukan dengan metode memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna atau dengan menggunakan rumus kuadrat (rumus abc).

Akan tetapi, pada bahasan kali ini kita akan mempelajari hal sebaliknya yaitu menentukkan atau menyusun persamaan kuadrat baru jika akar-akarnya diketahui. Misalkan, diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar suatu persamaan kuadrat, maka dengan proses kebalikan dalam mencari akar-akar persamaan kuadrat diperoleh,
x = x₁ atau x = x₂
x – x₁ = 0 atau x – x₂ = 0
Hasil kali keduanya adalah
(x – x₁)(x – x₂) = 0
x² – x₁x – x₂x + x₁x₂ = 0
x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0

Perhatikan contoh berikut
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1 dan 5!

Penyelesaianya:
misalkan x1 = -1 dan x2 = 5 maka persamaan kuadratnya
x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0
x² – (-1 + 5)x + (-1)(5) = 0
x² – 4x - 5 = 0

Dalam beberapa kasus soal kita tidak hanya diminta menentukan persamaan kuadrat yang baru dengan diketahui akarnya, tetapi juga kita diminta untuk menentukkan persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui memiliki hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya. Dalam hal ini, kita diminta untuk menentukan persamaan kuadrat yang baru.

Menentukan Persamaan Baru jika diketahui akar-akarnya memiliki hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya

Jika suatu persamaan kuadrat diketahui, maka kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya saling berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat tersebut dengan menggnakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Untuk menyusun persamaan kuadrat dengan rumus jumlah dan hasil kali akar kita dapat menggunakan rumus
x² – (a + b)x + ab = 0

dengan a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat baru atau yang dicari. Dengan demikian kita harus menghitung terlebih dahulu a + b dan ab (jumlah dan hasil kali akar -akarnya). Untuk memahami menyusun persamaan kuadrat dengan cara ini perhatikan contoh berikut

Persamaan kuadrat x² – 2x – 1 = 0 mempunyai akar-akar x₁ dan x₂. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah 3 kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut!

Penyelesaian
x² – 2x – 1 = 0 mempunyai nilai a = 1, b = -2 dan c = -1
akar-akarnya x₁ dan x₂ maka,
x₁ + x₂ = -b/a = 2
x₁x₂ = c/a = -1
Misalakan akar-akar prsamaan kuadrat yang baru a dan b maka a = 3x₁ dan b = 3x₂
a + b = 3x₁ + 3x₂ = 3(x₁+ x₂) = 3.2 = 6
ab = 3x₁ . 3x₂ = 9x₁x₂ = 9 (-1) = -9
Jadi, persamaan kuadrat yang baru
x² – (a + b)x + ab = 0
x² – (6)x + (-9) = 0
x² – 6x – 9 = 0

Contoh berikutnya, Persamaan kuadrat x² – 2x + 5 = 0 mempunyai akar-akar x₁ dan x₂. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah x₁ - 2 dan x₂ - 2!

Penyelesaian
x² – 2x + 5 = 0 mempunyai nilai a = 1, b = -2 dan c = 5
akar-akarnya x₁ dan x2 maka,
x₁ + x₂ = -b/a = 2
x₁x₂ = c/a = 5
Misalakan akar-akar prsamaan kuadrat yang baru a dan b maka a = x₁ - 2 dan b = x₂ – 2
a + b = x₁ - 2 + x₂ - 2 = x₁ + x₂ - 4 = 2 – 4 = -2
ab = (x₁ – 2)(x2 – 2) = x₁x₂ – 2x₁ – 2x₂ + 4
= x₁x₂ -2(x₁ + x₂) + 4
= 5 – 2(2) + 4
= 5
Jadi, persamaan kuadrat yang baru
x² – (a + b)x + ab = 0
x² – (-2)x + (5) = 0
x² + 2x + 5 = 0

Dalam beberapa kasus soal lainnya kita dituntut untuk bisa menguasai penyelesaian jumlah dan hasil kali akar-akar dengan berbagi trik dan tehnik agar bisa menentukan persamaan kuadrat yang dicari.

Semoga bermanfaat :)