Kenapa Jumlah Sudut-Sudut Dalam Segitiga Sama Dengan 180o?

Pertanyaan di atas mungkin pernah terbersit dipikiran kita. Atau mungkin orang lain pernah menanyakan hal itu pada kita. Atau bahkan mungkin anda sebagai seorang guru anda pernah ditanyakan dengan pertanyaan yang sama oleh siswa anda.

Segitiga merupakan  bangun datar yang memiliki keunikan tersendiri. Salah satu keunikannya adalah jumlah sudut-sudut dalam segitiga yang jumlahnya 180^o bagaimanapun bentuk segitiganya baik itu segitiga sama sisi, segitiga sama kaki, segitiga siku-siku, segitiga lancip, segitiga tumpul ataupun segitiga sembarang. Lantas kenapa jumlanya bisa 180^o?

Hal tersebut bisa dijawab dengan menggunakan hubungan sudut-sudut pada dua buah garis yang sejajar dipotong oleh sebuah garis. Hubungan sudut-sudut tersebut diantaranya sudut-sudt yang sehadap, sudut-sudut dalam dan luar bersebrangan, sudut-sudut dalam dan luar sepihak serta sudut-sudut yang saling bertolak belakang. Untuk lebih memahaminya perhatikan gambar berikut.

Misalkan dua buah garis yang sejajar yaitu garis k dan garis l dipotong oleh sebuah garis m sehingga terbentuk sudut-sudut diantaranya ÐA1, ÐA2, ÐA3, ÐA4, ÐB1, ÐB2, ÐB3, dan ÐB4. Dan dari sana kita memperoleh hubungan berberapa sudut yaitu,

Sudut-sudut yang sehadap yaitu,
ÐA1 dengan ÐB1, sehingga ÐA1 = ÐB1
ÐA2 dengan ÐB2, sehingga ÐA2 = ÐB2
ÐA3 dengan ÐB3, sehingga ÐA3 = ÐB3
ÐA4 dengan ÐB4, sehingga ÐA4 = ÐB4

Sudut-sudut dalam bersebrangan yaitu,
ÐA2 dengan ÐB4, sehingga ÐA2 = ÐB4
ÐA3 dengan ÐB1, sehingga ÐA3 = ÐB1

Sudut-sudut luar bersebrangan yaitu,
ÐA1 dengan ÐB3, sehingga ÐA1 = ÐB3
ÐA4 dengan ÐB2, sehingga ÐA4 = ÐB2

Sudut-sudut dalam sepihak yaitu,
ÐA2 dengan ÐB1, sehingga ÐA2 + ÐB1 = 180^o
ÐA3 dengan ÐB4, sehingga ÐA3 + ÐB4 = 180^o

Sudut-sudut luar sepihak yaitu,
ÐA1 dengan ÐB2, sehingga ÐA1 + ÐB2 = 180^o
ÐA4 dengan ÐB3, sehingga ÐA4 + ÐB3 = 180^o

Sudut-sudut yang saling bertolak belakang yaitu,
ÐA1 dengan ÐA3, sehingga ÐA1 = ÐA3
ÐA2 dengan ÐA4, sehingga ÐA2 = ÐA4
ÐB1 dengan ÐB3, sehingga ÐB1 = ÐB3
ÐB2 dengan ÐB4, sehingga ÐB2 = ÐB4

Jika anda sudah memahami mengenai hubungan sudut-sudut di atas. Sekarang, kita akan membuktikan bahwa jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180^o

Misalkan sebuah segitiga sembarang yaitu segitiga ABC dengan masing-masing sudutnya adalah ÐBAC = a, ÐABC = b, dan ÐACB = g (perhatikan gambar).

Kemudian garis AB diperpanjang hingga ke titik D dan dari titik B dibuat garis yang sejajar dengan garis AC dan kita namakan garis BE. Sehingga gambarnya menjadi seperti berikut:

Dengan demikian, diperoleh hubungan ÐBCA sehadap dengan ÐEBD sehingga ÐBCA = ÐEBD = a. Serta  ÐACB  bersebrangan dengan ÐCBE (dalam bersebrangan) sehingga ÐACB = ÐCBE = g. 

Gambar di atas menunjukkan bahwa a + b + g = 180^o  karena  ÐABD = 180^o.  Dan perlu diingat bahwa a, b dan g erupakan besar masing-masing sudut dalam segitiga ABC. Sehingga dapat disimpulkan bahwa jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180^o.

Selain dengan cara di atas kita dapat membuktikan bahwa jumlah sudut-sudut dalam segitiga adalah 180^o dengan cara langsung. 

Caranya adalah pertama gambarlah sebuah segitiga sembarang pada sebuah kertas. Kemudian, potong bagian tepi segitiga tersebut sehingga terbentuklah sebuah segitiga.

Selanjutnya sobek ujung-ujung dari segitiga tersebut (ketiga ujungnya)

Susunlah ujung-ujung dari segitiga-segitiga tersebut. Dimana ujung-ujungnya mengarah pada satu titik

Dan coba perhatikan ketiga sudut tersebut membentuk sudut 180^o (garis lurus)