Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan memuat variabel dengan pangkat tertinggi adalah 2 (dua). Terdapat beberapa bentuk umum pertidaksamaan kuadrat seperti berikut.
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≤ 0
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c ³ 0
dengan a = 0, dimana a, b, dan c bilangan real

Ditinjau dari nilai b dan c, terdapat beberapa jenis pertidaksamaan kuadrat yang penting untuk diketahui, yaitu:
a. ax² > 0 --> pertidaksamaan kuadrat dengan b = 0 dan c = 0
b. ax² + bx > 0 --> pertidaksamaan kuadrat dengan c = 0
c. ax² + c > 0 --> pertidaksamaan kuadrat dengan b = 0
d. ax² + bx + c > 0 --> pertidaksamaan kuadrat lengkap
berlaku juga untuk tanda ketaksamaan lainnya.

Menyelesaikan pertidaksamaan dapat dilakukan dengan menggunakan garis bilangan. Dalam menyelesaiakan pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan garis bilangan terdapat beberapa langkah yang harus kita pahami. Berikut ini adalah langkah-langkahnya:

1. Langkah pertama kita, harus memastikan bahwa pertidaksamaan yang akan kita selesaikan sudah dalam bentuk umum pertidaksamaan kuadrat. Hal ini bertujuan untuk memudahkan kita dalam menyelesaiakan pertidaksamaan kuadrat tersebut.
2. Langkah kedua, mengubah pertidaksamaan kuadrat menjadi bentuk persamaan kuadrat dalam hal ini adalah bentuk umum persamaan kuadrat (ax² + bx + c = 0). Caranya sangat mudah yaitu dengan mengubah tanda ketidaksamaan pada pertidaksamaan kuadrat menjadi tanda sama dengan (=).
3. Langkah ketiga, mencari pembuat nol atau akar-akar dari persamaan kuadrat yang kita dapatkan pada langkah kedua (Baca: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Memfaktorkan)
4. Langkah keempat, melukis garis bilangan dan menempatkan nilai pembuat nol yang telah kita dapatkan pada langkah ketiga pada garis bilangan tersebut.
5. Langkah kelima, menentukan tanda-tanda (+) untuk pertidaksamaan kuadrat yang berbentuk ax² + bx + c > 0 atau ax² + bx + c ³ 0 dan tanda (-) untuk pertidaksamaan kuadrat yang berbentuk ax² + bx + c < 0 atau ax² + bx + c ≤ 0 dengan cara mensubstitusikan bilangan-bilangan dalam interval pada garis bilangan kedalam bentuk ax² + bx + c.
6. Langkah keenam, merupakan langkah terakhir yaitu menentukkan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat tersebut. Himpunan penyelesaianya adalah interval-interval yang memiliki tanda sesuai dengan pertidaksamaan kuadrat yang sedang kita cari penyelesaianya.

Untuk lebih memahami cara menentukkan himpunan penyelesaian perhatikan contoh berikut
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat x² - 4x + 3 > 0!
Penyelesaian:
x² - 4x + 3 > 0
x² - 4x + 3 = 0
(x – 1)(x – 3) = 0
x – 1 = 0 atau x – 3 = 0
x = 1                x = 3

Dalam hal ini kita menguji titik-titik yang ada pada interval (kecuali pembuat nol) dengan mensubstitusikannya ke x² - 4x + 3
untuk x = 0 --> 0² – 4.0 + 3 = 3 > 0 (tandanya +)
untuk x = 2 --> 2² – 4.2 + 3 = -5 < 0 (tandanya -)
untuk x = 4 --> 4² – 4.4 + 3 = 3 > 0 (tandanya +)
Karena himpunan penyelesaian yang kita cari > 0 (tandanya +) maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat x² - 4x + 3 > 0 adalah {x | x < 1 atau x > 3, x Î R}

Contoh berikutnya
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat 2x² - 5x  ≤ -3!
Penyelesaian
2x² - 5x  ≤ -3
2x² - 5x + 3 ≤ 0
2x² - 7x + 3 = 0
(2x – 1)(x – 3) = 0
2x – 1 = 0 atau x – 3 = 0
x = ½                  x = 3

Dalam hal ini kita menguji titik-titik yang ada pada interval (kecuali pembuat nol) dengan mensubstitusikannya ke 2x² - 7x + 3
untuk x = 0 --> 2.0² – 5.0 + 3 = 3 ³ 0 (tandanya +)
untuk x = 2 --> 2.1² – 7.1 + 3 = -2 ≤ 0 (tandanya -)
untuk x = 4 --> 2.4² – 7.4 + 3 = 7 ³ 0 (tandanya +)
Karena himpunan penyelesaian yang kita cari ≤ 0 (tandanya -) maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat 2x² - 5x  ≤ -3 adalah {x | ½ ≤ x ≤ 0, x Î R}

Perlu diperhatikan bahwa, pada gambar garis bilangan terdapat bulatan pada titik yang menjadi pembuat nol persamaan ada yang dibuat lingkaran atau bulat terbuka dan ada yang dibuat lingkaran atau bulat tertutup (hitam penuh). Hal ini sesuai dengan tanda ketaksamaan pada pertidaksamaan kuadrat yang dicari himpunan penyelesaiannya. Jika terbuka maka tanda menunjukkan tanda ketaksamaan < atau > dan jika tertutup maka menunjukkan tanda ketaksamaan ≤ atau ³.