ISOMETRI

1. Definisi Isometri

Dalam Geometri Transformasi dikenal beberapa transformasi diantaranya Pergeseran, Rotasi, dan Pencerminan. Pada tiga transformasi ini, ukuran dan bentuk bangun yang telah mengalami transformasi tidak berubah. Hal ini menghasilkan istilah baru bahwa ketiga transformasi itu disebut transformasi yang isometri, suatu istilah yang berasal dari bahasa Yunani yang berarti ”sama luas”.

Definisi:

Misalkan T suatu transformasi , transformasi T ini disebut isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclides V berlaku dimana dan .

Untuk memahami definisi di atas perhatikan contoh berikut:

Misalkan garis pada bidang dan transformasi ditetapkan sebagai berikut:

i. Jika maka

ii. Jika maka

Apakah transformasi T ini merupakan suatu isometri?

Penyelesaian:

Ambil dua titik sembarang dan anggota misalkan dan , sehingga diperoleh

a. g sumbu dari , misalkan , maka

b. g sumbu dari , misalkan , maka

Perhatikan gambar berikut ini:

Kemudian pandang dengan . Karena , (siku-siku), dan , maka =. Akibatnya:

Sekarang pandang dengan . Karena, , dan , maka =. Akibatnya

Karena dan di ambil sembarang titik pada dapat di simpulkan bahwa untuk setiap pasangan titik dan pada ,diperoleh sehingga transformasi yang ditetapkan di atas adalah suatu isometri.

Contoh lain:

Asumsi bahwa sebuah sistem koordinat membangun suatu bidang datar dan pemetaan didefinisikan untuk suatu titik oleh: . Maka dapat ditunjukan bahwa suatu transformasi menunjukan suatu isometri, ambil sepasang titik dan bayangan masing-masing dan kemudian buktinya bahwa

Dengan rumus jarak diperoleh:

Karena itu, adalah isometri.

2. Sifat-sifat Isometri

Suatu pencerminan atau refleksi pada sebuah garis adalah suatu transformasi yang mengawetkan jarak atau juga dinamakan suatu isometri. Selain mengawetkan jarak antara dua titik, suatu isometri memiliki sifat-sifat seperti yang tertuang dalam teorema berikut.

Teorema 1:

Setiap Isometri bersifat:

a. memetakan garis menjadi garis

b. mengawetkan besarnya sudut antara dua garis

c. mengawetkan kesejajaran dua garis

Bukti:

a. memetakan garis menjadi garis

Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometri. Kita akan membuktikan bahwa adalah suatu garis juga.

Ambil dan . Maka, , : melalui dan ada satu garis misalnya . Akan kita buktikan , untuk itu akan dibuktikan dan .

i. Bukti

Ambil . Oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides. Kita andaikan artinya, . Oleh karena suatu isometri, jadi T suatu transformasi maka ada sehingga dan oleh karena suatu isometri maka : begitu pula . Jadi pula . Ini berarti bahwa segaris pada dan .

Sehingga sebab bukti serupa berlaku untuk posisi dengan atau .

ii. Bukti

Ambil lagi . Maka ada sehingga dengan misalnya ., artinya dan . Oleh karena sebuah isometri maka , , . Sehingga . Ini berarti bahwa segaris, yaitu melalui dan . Oleh karena satu-satunya garis yang melalui dan maka . Jadi haruslah .

Bukti serupa berlaku untuk keadaan atau

Sehingga . Jadi jika sebuah garis maka adalah sebuah garis.

b. mengawetkan besarnya sudut antara dua garis

Ambil sebuah .

Andaikan , , . Menurut sifat (a), maka dan adalah garis lurus. Oleh karena maka sedangkan , , . Sehingga . Jadi .

Sehingga suatu isometri mengawetkan besarnya sebuah sudut.

c. mengawetkan kesejajaran dua garis

Kita harus memperlihatkan bahwa // . Andaikan memotong di sebuah titik , jadi dan . Oleh karena sebuah transformasi maka ada sehingga dengan dan . Ini berarti bahwa memotong di , jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa //.Maka pengandaian bahwa memotong salah. Jadi haruslah // .

Sehingga suatu isometri mengawetkan kesejajaran dua garis.

Akibat:

Salah satu akibat dari sifat (b) teorema 1 ialah bahwa jika dua buah garis misalkan a dan b dimana maka dengan sebuah isometri.

Bukti:

Dipunyai akan ditunjukkan . Andaikan T(a) tidak tegak lurus dengan T(b) maka terapat sudut antara T(a) dengan T(b) yang tidak sama dengan 90^o. Karena isometri mengawetkan besarnya sudut antara dua garis maka sudut yang dibentuk oleh a dan b tidak sama dengan 90^o. Hal ini kontradiksi dengan . Jadi pengandaian harus dibatalkan.

Artinya .

Jadi apabila maka dengan T sebuah isometri.

Teorema 2:

Komposisi dua buah isometri adalah isometri

Bukti:

Ambil dua isometri, namakan dengan dan , terjadilah komposisi dari dan .

Yaitu dan . Dalam uraian ini akan ditunjukkan salah satu saja . Ambil dua titik sembarang , misalkan , dan , , berdasarkan pemisalan ini dapat dicari:

Karena isometri maka dan karena isometri pula . Karena dan , maka . Jadi suatu isometri.

Soal Latihan

1. Diketahui garis-garis s, t, u dan titik A,B seperti dapat dilihat pada gambar di bawah ini. adalah sebuah isometri dengan dan . Jika lukislah !

2. Diketahui garis dan . Tulislah sebuah persamaan garis !

3. Diketahui lima garis g, g’, h, h’, dan k sehingga dan . Apabila buktikan !

4. Diketahui garis-garis g,h, dan h’ sehingga apakah ungkapan di bawah ini benar?

a. Jika maka .

b. Jika maka .

c. Jika , maka .

5. Jika dan , selidikilah apakah terletak pada garis .

Pembahasan

1. , . Karena maka

dan T isometri, maka atau .

Gambar:

2. Diketahui garis dan

Gambar:

Karena sebuah refleksi pada , maka merupakan isometri.

Jadi, menurut teorema ”sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”, dan , maka adalah sebuah garis.

Titik merupakan titik potong antara garis dan sumbu .

Titik merupakan titik potong antara garis dan .

Jadi dan .

Karena maka

Jadi akan melalui titik , dan akan melalui

§ Koordinat titik

g : x + 2y = 1 x + 2y – 1 = 0,

h : x = -1

substitusikan x = -1 ke persamaan garis g : x + 2y = 1, diperoleh:

-1 + 2y – 1 = 0

2y = 2

y = 1

Jadi

§ Koordinat titik

Titik adalah titik potong dengan sumbu .

Karena isometri maka

Jadi,

Misal titik

Absis titik adalah

Diperoleh dan

Jadi,

Jadi, g’ melalui titik C(-1,1) dan

Persamaan garis g’:

Jadi,

3. Diketahui

Andaikan g tidak sejajar h, maka menurut teorema, bahwa isometri mengawetkan kesejajaran 2 garis, diperoleh tidak sejajar dengan . Padahal diketahui bahwa , maka pengandaian harus dibatalkan, artinya .

4. Diketahui garis-garis , , dan sehingga

a. Jika maka .

Jadi benar jika maka .

b. Jika maka .

Jadi benar jika maka .

c. Jika , maka .

Jadi benar jika , maka .

5. Jika g = {(x,y) | y = -x} dan h = {(x,y) |3y = x + 3}

Gambar:

Karena sebuah refleksi pada maka merupakan isometri.

Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan , maka adalah sebuah garis.

Titik merupakan titik potong antara garis g dan h.

Jadi, dan .

Karena maka

Jadi h’ akan melalui titik

Ambil titik A(0,1) dan B(-3,0) karena maka dan .

Jadi melalui dan . Dimana pencerminan pada garis berlaku misalkan maka bayangannya . Sehingga dan .

Persamaan garis h’:

Jadi persamaan garis

II.2. Isometri Langsung Dan Isometri Lawan

Untuk lebih memahami isometri langsung dan isometri lawan terlebih dahulu kita bahas fenomena isometri yang diperlihatkan pada gambar berikut .

Pada gambar 1 tampak bahwa apabila pada segitiga ABC yang dicerminkan pada garis g dimana, urutan kelilingnya A→B→C adalah berlawanan dengan putaran jarum jam menghasilkan peta yaitu segitiga yang urutan kelilingnya →→ adalah sesuai dengan jarum jam.

Pada gambar 2 dapat dilihat lihat sebagai isometri yaitu suatu rotasi (putaran) segitiga ABC yang mengelilingi titik O. Dimana, pada segitiga ABC urutan keliling adalah A→B→C adalah berlawanan dengan putaran jarum jam dirotasikan mengelilingi titik O yang menghasilkan peta yaitu segitiga dengan urutan keliling →→ adalah tetap berlawanan dengan putaran jarum jam.

Untuk membahas lebih lanjut fenomena isometri di atas, kita gunakan konsep tiga titik yang tak segaris. Andaikan (P₁,P₂,P₃) tiga titik yang tak segaris maka melalui P₁,P₂ dan P₃ada tepat satu lingkaran l, kita dapat mengelilingi l berawal misalnya dari P₁ kemudian sampai di P₂ , P₃ dan akhirnya kembali ke P₁. Apabila arah keliling ini sesuai dengan putaran jarum jam maka dikatakan bahwa tiga titik (P₁,P₂,P₃) memiliki orientasi yang sesuai dengan putaran jarum jam (orientasi yang negatif), apabila arah keliling itu berlawanan dengan putaran jarum jam maka dikatakan bahwa tiga titik (P_1,P_2,P₃) memiliki orientasi yang berlawanan denga putaran jarum jam (orientasi yang positif), jadi pada gambar 1, (A,B,C) memiliki orientasi positif sedangkan (A₁,B₁,C₁)memiliki orientasi yang negatif, pada gambar 2 orientasi (A,B,C) adalah positif dan orientasi (A₂,B₂,C₂) tetap positif, jadi pencerminan pada gambar 1 mengubah orientasi sedangkan putaran pada gambar 2 mengawetkan orientasi.

Definisi:

1. Suatu transformasi T mengawetkan suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik tak segaris (,_, ) orientasinya sama dengan (_,_,) dengan = T () , = T () , = T().

2. Suatu transformasi T membalik suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik yang tak segaris (,_, ) orientasinya tidak sama dengan orientasi peta-petanya (_,_,) dengan , , .

Definisi:

Suatu transformasi dinamakan langsung apabila trasformasi tersebut mengawetkan orientasi, suatu transformasi disebut transformasi lawan apabila transformasi tersebut mengubah orientasi.

Salah satu sifat penting dalam geometri transformasi adalah:

Teorema 3:

Setiap refleksi pada garis adalah isometri lawan.

Teorema 4 tanpa bukti, tidak setiap isometri adalah isometri lawan. Hal ini dapat dilihat pada gambar 2, dimana isometri (yaitu rotasi pada titik O) adalah sebuah isometri langsung. Oleh karena itu dapat kita kemukakan teorema berikut, tanpa bukti yaitu :

Teorema 4 :

Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sebuah isometri lawan.

Soal Latihan :

1. Pada gambar berikut, terdapat tiga titik tak segaris yaitu , , , dan adalah isometri-isometri dengan , , sedangkan , , . Termasuk golongan manakah dan itu ?

2. Isometri memetakan pada , pada dan pada , apabila sebuah isometri lawan tentukan titik !

3. Sebuah isometri memetakan pada , pada dan pada , apabila sebuah isometri langsung tentukan .

4. Diketahui garis-garis dan dan titik-titik dan .

Diketahui pula bahwa , , , dan .

a. Lukislah dan !

b. Bandingkan jarak dan .

Pembahasan:

Gambar:

Dari gambar di atas dapat diketahui bahwa merupakan isometri lawan karena mengubah orientasi , , dan . merupakan isometri langsung karena mengawetkan orientasi , , dan .