ISOMETRI
1. Definisi Isometri
Dalam Geometri Transformasi dikenal beberapa transformasi diantaranya Pergeseran, Rotasi, dan Pencerminan. Pada tiga transformasi ini, ukuran dan bentuk bangun yang telah mengalami transformasi tidak berubah. Hal ini menghasilkan istilah baru bahwa ketiga transformasi itu disebut transformasi yang isometri, suatu istilah yang berasal dari bahasa Yunani yang berarti ”sama luas”.
Definisi:
Misalkan T suatu transformasi , transformasi T ini disebut isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclides V berlaku dimana
dan
.
Untuk memahami definisi di atas perhatikan contoh berikut:
Misalkan garis pada bidang
dan transformasi
ditetapkan sebagai berikut:
Apakah transformasi T ini merupakan suatu isometri?
Penyelesaian:
Ambil dua titik sembarang dan
anggota
misalkan
dan
, sehingga diperoleh
a. g sumbu dari , misalkan
, maka
b. g sumbu dari , misalkan
, maka
Perhatikan gambar berikut ini:
Kemudian pandang dengan
. Karena
,
(siku-siku), dan
, maka
=
. Akibatnya:
Sekarang pandang dengan
. Karena
,
, dan
, maka
=
. Akibatnya
Karena dan
di ambil sembarang titik pada
dapat di simpulkan bahwa untuk setiap pasangan titik
dan
pada
,diperoleh
sehingga transformasi
yang ditetapkan di atas adalah suatu isometri.
Contoh lain:
Asumsi bahwa sebuah sistem koordinat membangun suatu bidang datar dan pemetaan didefinisikan untuk suatu titik
oleh:
. Maka dapat ditunjukan bahwa
suatu transformasi menunjukan
suatu isometri, ambil sepasang titik
dan
bayangan masing-masing
dan
kemudian buktinya bahwa
Dengan rumus jarak diperoleh:
2. Sifat-sifat Isometri
Suatu pencerminan atau refleksi pada sebuah garis adalah suatu transformasi yang mengawetkan jarak atau juga dinamakan suatu isometri. Selain mengawetkan jarak antara dua titik, suatu isometri memiliki sifat-sifat seperti yang tertuang dalam teorema berikut.
Teorema 1:
Setiap Isometri bersifat:
a. memetakan garis menjadi garis
b. mengawetkan besarnya sudut antara dua garis
c. mengawetkan kesejajaran dua garis
Bukti:
a. memetakan garis menjadi garis
Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometri. Kita akan membuktikan bahwa adalah suatu garis juga.
Ambil dan
. Maka,
,
: melalui
dan
ada satu garis misalnya
. Akan kita buktikan
, untuk itu akan dibuktikan
dan
.
Ambil . Oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides. Kita andaikan
artinya,
. Oleh karena
suatu isometri, jadi T suatu transformasi maka ada
sehingga
dan oleh karena
suatu isometri maka
: begitu pula
. Jadi pula
. Ini berarti bahwa
segaris pada
dan
.
Sehingga sebab bukti serupa berlaku untuk posisi
dengan
atau
.
Ambil lagi . Maka ada
sehingga
dengan
misalnya
., artinya
dan
. Oleh karena
sebuah isometri maka
,
,
. Sehingga
. Ini berarti bahwa
segaris, yaitu melalui
dan
. Oleh karena
satu-satunya garis yang melalui
dan
maka
. Jadi haruslah
.
Bukti serupa berlaku untuk keadaan atau
Sehingga . Jadi jika
sebuah garis maka
adalah sebuah garis.
b. mengawetkan besarnya sudut antara dua garis
Andaikan ,
,
. Menurut sifat (a), maka
dan
adalah garis lurus. Oleh karena
maka
sedangkan
,
,
. Sehingga
. Jadi
.
Sehingga suatu isometri mengawetkan besarnya sebuah sudut.
c. mengawetkan kesejajaran dua garis
Kita harus memperlihatkan bahwa //
. Andaikan
memotong
di sebuah titik
, jadi
dan
. Oleh karena
sebuah transformasi maka ada
sehingga
dengan
dan
. Ini berarti bahwa
memotong
di
, jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa
//
.Maka pengandaian bahwa
memotong
salah. Jadi haruslah
//
.
Sehingga suatu isometri mengawetkan kesejajaran dua garis.
Akibat:
Salah satu akibat dari sifat (b) teorema 1 ialah bahwa jika dua buah garis misalkan a dan b dimana maka
dengan
sebuah isometri.
Bukti:
Dipunyai akan ditunjukkan
. Andaikan T(a) tidak tegak lurus dengan T(b) maka terapat sudut antara T(a) dengan T(b) yang tidak sama dengan 90o. Karena isometri mengawetkan besarnya sudut antara dua garis maka sudut yang dibentuk oleh a dan b tidak sama dengan 90o. Hal ini kontradiksi dengan
. Jadi pengandaian harus dibatalkan.
Jadi apabila maka
dengan T sebuah isometri.
Teorema 2:
Komposisi dua buah isometri adalah isometri
Bukti:
Ambil dua isometri, namakan dengan dan
, terjadilah komposisi dari
dan
.
Yaitu dan
. Dalam uraian ini akan ditunjukkan salah satu saja
. Ambil dua titik sembarang
, misalkan
,
dan
,
, berdasarkan pemisalan ini dapat dicari:
Karena isometri maka
dan karena
isometri pula
. Karena
dan
, maka
. Jadi
suatu isometri.
Soal Latihan
1. Diketahui garis-garis s, t, u dan titik A,B seperti dapat dilihat pada gambar di bawah ini. adalah sebuah isometri dengan
dan
. Jika
lukislah
!
2. Diketahui garis dan
. Tulislah sebuah persamaan garis
!
3. Diketahui lima garis g, g’, h, h’, dan k sehingga dan
. Apabila
buktikan
!
4. Diketahui garis-garis g,h, dan h’ sehingga apakah ungkapan di bawah ini benar?
5. Jika dan
, selidikilah apakah
terletak pada garis
.
Pembahasan
Gambar:
Gambar:
Karena sebuah refleksi pada
, maka merupakan isometri.
Jadi, menurut teorema ”sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”, dan , maka
adalah sebuah garis.
Titik merupakan titik potong antara garis
dan sumbu
.
Titik merupakan titik potong antara garis
dan
.
Jadi akan melalui titik
, dan
akan melalui
g : x + 2y = 1 x + 2y – 1 = 0,
h : x = -1
substitusikan x = -1 ke persamaan garis g : x + 2y = 1, diperoleh:
-1 + 2y – 1 = 0
2y = 2
y = 1
Titik adalah titik potong
dengan sumbu
.
Jadi, g’ melalui titik C(-1,1) dan
Andaikan g tidak sejajar h, maka menurut teorema, bahwa isometri mengawetkan kesejajaran 2 garis, diperoleh
tidak sejajar dengan
. Padahal diketahui bahwa
, maka pengandaian harus dibatalkan, artinya
.
4. Diketahui garis-garis ,
, dan
sehingga
5. Jika g = {(x,y) | y = -x} dan h = {(x,y) |3y = x + 3}
Gambar:
Karena sebuah refleksi pada
maka merupakan isometri.
Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan , maka
adalah sebuah garis.
Titik merupakan titik potong antara garis g dan h.
Ambil titik A(0,1) dan B(-3,0) karena maka
dan
.
Jadi melalui
dan
. Dimana pencerminan pada garis
berlaku misalkan
maka bayangannya
. Sehingga
dan
.
II.2. Isometri Langsung Dan Isometri Lawan
Untuk lebih memahami isometri langsung dan isometri lawan terlebih dahulu kita bahas fenomena isometri yang diperlihatkan pada gambar berikut .
Pada gambar 1 tampak bahwa apabila pada segitiga ABC yang dicerminkan pada garis g dimana, urutan kelilingnya A→B→C adalah berlawanan dengan putaran jarum jam menghasilkan peta yaitu segitiga yang urutan kelilingnya
→
→
adalah sesuai dengan jarum jam.
Pada gambar 2 dapat dilihat lihat sebagai isometri yaitu suatu rotasi (putaran) segitiga ABC yang mengelilingi titik O. Dimana, pada segitiga ABC urutan keliling adalah A→B→C adalah berlawanan dengan putaran jarum jam dirotasikan mengelilingi titik O yang menghasilkan peta yaitu segitiga dengan urutan keliling
→
→
adalah tetap berlawanan dengan putaran jarum jam.
Untuk membahas lebih lanjut fenomena isometri di atas, kita gunakan konsep tiga titik yang tak segaris. Andaikan (P1,P2,P3) tiga titik yang tak segaris maka melalui P1,P2 dan P3 ada tepat satu lingkaran l, kita dapat mengelilingi l berawal misalnya dari P1 kemudian sampai di P2 , P3 dan akhirnya kembali ke P1. Apabila arah keliling ini sesuai dengan putaran jarum jam maka dikatakan bahwa tiga titik (P1,P2,P3) memiliki orientasi yang sesuai dengan putaran jarum jam (orientasi yang negatif), apabila arah keliling itu berlawanan dengan putaran jarum jam maka dikatakan bahwa tiga titik (P1,P2,P3) memiliki orientasi yang berlawanan denga putaran jarum jam (orientasi yang positif), jadi pada gambar 1, (A,B,C) memiliki orientasi positif sedangkan (A1,B1,C1)memiliki orientasi yang negatif, pada gambar 2 orientasi (A,B,C) adalah positif dan orientasi (A2,B2,C2) tetap positif, jadi pencerminan pada gambar 1 mengubah orientasi sedangkan putaran pada gambar 2 mengawetkan orientasi.
Definisi:
1. Suatu transformasi T mengawetkan suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik tak segaris (,
,
) orientasinya sama dengan (
,
,
) dengan
= T (
) ,
= T (
) ,
= T(
).
2. Suatu transformasi T membalik suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik yang tak segaris (,
,
) orientasinya tidak sama dengan orientasi peta-petanya (
,
,
) dengan
,
,
.
Definisi:
Suatu transformasi dinamakan langsung apabila trasformasi tersebut mengawetkan orientasi, suatu transformasi disebut transformasi lawan apabila transformasi tersebut mengubah orientasi.
Salah satu sifat penting dalam geometri transformasi adalah:
Teorema 3:
Setiap refleksi pada garis adalah isometri lawan.
Teorema 4 tanpa bukti, tidak setiap isometri adalah isometri lawan. Hal ini dapat dilihat pada gambar 2, dimana isometri (yaitu rotasi pada titik O) adalah sebuah isometri langsung. Oleh karena itu dapat kita kemukakan teorema berikut, tanpa bukti yaitu :
Teorema 4 :
Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sebuah isometri lawan.
Soal Latihan :
1. Pada gambar berikut, terdapat tiga titik tak segaris yaitu ,
,
,
dan
adalah isometri-isometri dengan
,
,
sedangkan
,
,
. Termasuk golongan manakah
dan
itu ?
2. Isometri memetakan
pada
,
pada
dan
pada
, apabila
sebuah isometri lawan tentukan titik
!
3. Sebuah isometri memetakan
pada
,
pada
dan
pada
, apabila
sebuah isometri langsung tentukan
.
4. Diketahui garis-garis dan
dan titik-titik
dan
.
Diketahui pula bahwa ,
,
, dan
.
Pembahasan:
1.
|
Dari gambar di atas dapat diketahui bahwa merupakan isometri lawan karena
mengubah orientasi
,
, dan
.
merupakan isometri langsung karena
mengawetkan orientasi
,
, dan
.
2. Karena sebuah isometri lawan maka
mengubah orientasi
,
, dan
sehingga
dipetakan sesuai dengan gambar berikut:
3. Karena sebuah isometri lawan maka
mengubah orientasi
,
, dan
sehingga
dipetakan sesuai dengan gambar berikut:
4. a. Gambar:
b. Karena (isometri mengawetkan jarak)
Maka jarak dengan
= jarak
dengan
Karena jarak = jarak
dan jarak
= jarak
, maka jarak
= jarak
.
No comments:
Pengunjung yang Baik Selalu Memberi Kritik dan Saran