Alasan Kenapa 0! = 1? (nol faktorial sama dengan 1)

Dalam Matematika kita akan mengenal yang namanya notasi faktorial terutama jika kita sedang mempelajari materi Peluang. Hasil kali bilangan asli dari 1 sampai dengan n dinotasikan n! (dibaca n faktorial). Dengan demikian di definisikan,

n! = 1 x 2 x 3 x … x (n-1) x n atau n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 2 x 1

Contoh:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

selain itu, dalam notasi faktorial didefinisikan bahwa

1! = 1

0! = 1

Nah, sekarang coba perhatikan bentuk terakhir tersebut. Mungkin yang menjadi pertanyaan kenapa 0! sama dengan 1? Kenapa tidak sama dengan 0? Atau bahkan, kenapa 1! bernilai sama dengan 0! yaitu sama dengan 1?. Sebelum kita menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, simaklah penjelasan di bawah ini.

Memang benar jika 0! = 1 alasanya sama seperti a⁰ = 1. Keduanya memang didefinisikan seperti itu. Tetapi memang ada alasan untuk definisi tersebut dan tidak sembarang alasan. Kita telah mengengetahui dalam eksponen bahwa a⁰ = 1. Kita tidak bisa menggunakan alasan bahwa a⁰ = 1 dengan menggunakan arti dari pemangkatan yaitu “perkalian berulang”. Karena, bagaimana bisa kita mengulang perkalian a sebanyak nol kali. Sama seperti 0!, kita tidak bisa menggunakan arti dari notasi faktorial untuk menemukan nilai 0!. Karena kita tidak bisa mengalikan semua bilangan dari angka 0 ke bawah hingga 1 untuk mendapatkan nilai 1.

Para Ahli matematika mendefinisikan a⁰ = 1 agar hukum pemangkatan tetap berlaku meskipun pemangkatan tersebut tidak dapat dijelaskan sebagai perkalian berulang. Sebagai contoh, a² x a⁵ = a²⁺⁵ = a⁷ (dengan menjumlahkan pangkatnya). Dengan cara yang sama coba selesaikan a⁰ x a³ = a⁰⁺³ = a³. Dengan begitu, a⁰ harus bernilai 1 karena ketika kita mengalikan a⁰ dengan a³, hasilnya adalah a3. Hal ini berarti hanya a⁰ = 1 yang membuat perkalian tersebut menjadi benar.

Nah sekarang kita kembali ke permasalahan pokok kita. Dengan cara pikir yang sama seperti di atas, ketika kita berbicara masalah kombinasi kita mendapatkan formula “banyak cara/susunan yang dapat dibuat  menjadi susunan yang terdiri dari k unsur dari n unsur yang tersedia” dapat dihitung dengan n!/k!(n-k)!. Sebagai contoh, jumlah salaman (jabat tangan) yang terjadi ketika 5 orang akan saling bersalaman dapat dihitung dengan menyatakan n = 5 (5 orang yang akan saling bersalaman) dan k = 2 (untuk bisa bersalaman maka diperlukan 2 orang). Jadi, jawabanya adalah 5!/2!3! = 10 salaman.

Sekarang, seandainya jika hanya ada 2 orang yang akan bersalaman maka, nilai n = 2 (jumlah orang yang akan bersalaman) dan k = 2 (untuk bisa bersalaman maka diperlukan 2 orang). Sehingga kita akan dapatkan perhitungan 2!/2!0!. Jika kita ubah bentuknya menjadi 2/(2x), dimana x adalah nilai dari 0!. Kemudian kita sederhanakan pembagian tersebut menjadi 1/x, dimana 1/x nilainya harus sama dengan 1 karena jika hanya dua orang yang saling bersalaman maka akan hanya ada 1 salaman. Dengan begitu, satu-satunya nilai 0! agar hal tersebut menjadi benar adalah 0! = 1.

Dengan demikian kita dapat mendefinisikan nilai 0! = 1.

Semoga bermanfaat :)