Menentukan Penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) merupakan sistem persamaan linear yang melibatkan tiga variabel yang berbeda. Hampir sama seperti menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV), umumnya metode yang populer digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel adalah  substitusi dan gabungan eliminasi substitusi atau yang lebih dikenal metode gabungan (Baca: Memilih Metode Yang Paling Cepat Dalam Menyelesaikan SPLDV).   Bagaimana dengan metode eliminasi (eliminasi murni)? Kita bisa saja menerapkan eliminasi murni dalam menentukan penyelesiana suatu SPLTV, namun pengerjaanya menjadi kurang efisien. Maka dari itu, tehnik eliminasi murni tidak dibahas dalam artikel ini

Berbeda dengan penyelesaian pada SPLDV, dalam menentukan penyelesaian SPLTV dapat dikatakan satu tingkat lebih rumit jika dibandingkan dengan menyelesaiakan suatu SPLDV. Untuk itu penting rasanya kita untuk mengetahui bagaimana sebenarnya penyelesaian suatu SPLTV dengan menggunakan metode-metode yang telah disebutkan di atas.

Metode Substitusi

Dalam metode substitusi, salah satu variabel dinyatakan dalam dua variabel. Variabel ini selanjutnya digunakan untuk mengganti variabel yang sama dalam dua persamaan lainnya sehingga akan diperoleh SPLDV. Selanjutnya, SPLDV tersebut diselesaikan menggunakan metode substitusi sehingga diperoleh nilai dari kedua variabel. Nilai kedua variabel ini disubstitusikan ke salah satu persamaan dalam SPLTV sehingga diperoleh nilai variabel yang ketiga. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1
Dengan metode substitusi tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
2x + y + z = 12
x + 2y - z = 3
3x - y + z = 11

Penyelesaian
2x + y + z = 12 .........1)
x + 2y - z = 3.............2)
3x - y + z = 11...........3)

Dari persamaan 1) diperoleh bentuk
z = 12 - 2x - y

Substitusikan z = 12 - 2x - y ke persamaan 2)
x + 2y - (12 - 2x - y) = 3
x + 2y -12 + 2x + y = 3
3x + 3y = 15
x + y = 5 (kedua ruas dibagi 3)
y = 5 - x ...................4)

Substitusikan z = 12 - 2x - y ke persamaan 3)
3x - y + (12 - 2x - y) = 11
3x - y + 12 - 2x - y = 11
x - 2y = -1 ................5)

Substitusikan persamaan 4) ke persamaan 5)
x - 2(5 - x) = -1
x -10 + 2x = -1
3x = 9
x = 3

Substitusikan x = 3 ke persamaan 4)
y = 5 - 3
y = 2

Substitusikan x = 3 dan y = 2 ke persamaan 1) (tidak mutlak harus ke persamaan 1) melainkan dapat dipilih persamaan 1), 2), dan 3) hasilnya akan sama)
2(3) + 2 + z = 12
6 + 2 + z = 12
8 + z = 12
z = 4
Jadi, penyelesaiannya adalah {(3, 2, 4)}

Metode Eliminasi Substitusi (Gabungan)

Dalam metode ini, salah satu variabel dihilangkan dengan metode eliminasi sehingga diperoleh SPLDV. Selanjutnya SPLDV tersebut diselesaikan dengan metode gabungan sehingga akan diperoleh nilai dari dua variabel dalam SPLDV tadi. Kemudian kedua nilai variabel tersebut kita substitusikan ke salah satu persamaan SPLTV untuk mendapatkan nilai dari variabel yang ketiga. Sebagai contoh perhatikan penyelesaian soal berikut

Contoh 2
Dengan metode gabungani tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
3x - y + 2z = 16
2x + y + z = 1
4x - 2y + z = 18

Penyelesaian
3x - y + 2z = 16 ........1)
2x + y + z = 1 ...........2)
4x - 2y + z = 18 ........3)

Substitusikan z = 3 ke persamaan 4)
-y + 3 = 2
-y = 2 – 3
-y = -1
y = 1

Substitusikan y = 1 dan z = 3 ke persamaan 1)
2x + 1 + 3 = 12
2x + 4 = 12
2x = 8
x = 4

Jadi, penyelesaianya adalah {(4, 1, 3)}

Selain 2 metode di atas, metode yang dianggap ampuh dalam menyelesaiakan persamanaan linear tiga variabel adalah metode determinan (Baca: Menyelesaikan Persamaan Linier Tiga Variabel Dengan Metode Determinan Matriks). Demikan tadi, bahasan mengenai menentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel, semoga dapat dipahami dan bermanfaat.